Komplexe Zahlen

Schon seit einigen Jahren (eigentlich seit ich die HTL abgeschlossen habe) beschäftige ich mich immer wieder mit komplexen Zahlen. Seit ca. 2 oder 3 Jahren habe ich eine Theorie der komplexen Zahlen die leicht von der gängigen abweicht. Es ist in diesem Sinn jedoch kein Ersatz für die übliche ansichtsweise der komplexen Zahlen sondern lediglich eine andere Form diese darzustellen bzw. zu verstehen.

Es gibt bereits eine Anschreibweise welche ähnlich meiner ist jedoch meiner Ansicht nach nicht so gut erklärt wie man sich denn nun solch eine komplexe Zahl vorstellen kann. Ich habe bereits 2006 einen Artikel über diese Theorie in meiner Wiki veröffentlicht - und möchte diese Informationen nun auch hier öffentlich zugänglich machen.

Dies ist derzeit der einzige Inhalt auf meiner Seite welcher nicht in Englisch publiziert ist. Immerhin gilt ja Mathematik als sprachübergreifend. Nein - dies soll natürlich nicht so bleiben - ich will schon eine Übersetzung dieses Textes erstellen. Nur fehlt mir dazu leider im Moment die Zeit.

Komplexe zahlen in üblichen Darstellungsformen

Im Normalfall wird eine komplexe Zahl in einem karthesischen Koordinatensystem dargestellt indem auf der x-Achse die reelen Werte aufgetragen werden und auf der y-Achse der imaginäre Anteil welcher die Einheit "i" (in der Elektrontechnik auch "j") hat welche der Quadrat-Wurzel aus -1 entspricht:

Eine komplexe Zahl wird meist in einer von drei gebräuchlichen Schreibweisen angegeben: Der karthesichen Form, der polaren Form oder der exponential Form.

Die karthesische Form beschreibt getrennt den Real und Imaginärteil der komplexen Zahl indem Sie als Summe der beiden Werte angegeben wird.

z = r + j * i

Also die Summe aus Realteil und Imaginärteil versehen mit der imaginären Einheit. Werden wie bereits beschrieben Realteil und Imaginärteil in einem Karthesischen Koordinatensystem eingezeichnet ergibt dies einen Punkt auf der komplexen Zahlenebene (Gaussche Zahlenebene).

Die zweite oft verwendete Form, die Polarform, beschreibt ebenfalls einen Punkt in der komplexen Zahlenebene, jedoch nicht mittels der beiden Koordinatenwerte sondern indem die Länge (der Betrag) des Vektors zu dem gewünschten Punkt angegeben wird und dessen Winkel zur positiven x-Achse. Diese Methode erlaubt ebenfalls eine darstellung aller möglichen Punkte auf der Zahlenebene und eignet sich besser für manche Rechenoperationen als die karthesische Darstellung.

z = r < φ (Das Symbol "<" zeigt hier das es sich bei "φ" um einen Winkel handelt)

Die dritte häufig verwendete Form, die Exponentialform schreibt die Zahl in Form einer Exponentendarstellung an. Die bereits vorhin erläuterte Methode der Polardarstellung eignet sich nicht wirklich für Mathematische Berechnungen da hier eine Zahl und ein Winkel "getrennt" angegeben sind und nicht als eine Zahl anzusehen sind. Die Exponentendarstellung löst diese Prolem indem es über eine Exponentialfunktion erlaubt Betrag und Winkel in einem Term unterzubringen:

z = r * e^{j * φ}

Hier noch ein Bild in dem ein Punkt in das karthesische Koordinatensystem eingezeichnet ist:

Hintergrund über die komplexe Einheit

Man mag sich nun Fragen was "j" oder "i" eigentlich wirklich ist ? Es ist einem Klar das es die Wurzel aus -1 ist - aber diese ist ja mit üblichen Methoden nicht berechenbar. Folgern wir mal was nun eigentlich Quadrieren und Wurzelziehen ist.

Das Quadrat einer Zahl ist die Zahl mit sich selbst multipliziert:

b = a * a

Und die Wurzel einer Zahl ist jene Zahl die mit sich selbst multipliziert das Argument ergibt. Also:

oder auch:

Nun kann man also sagen das die Quadrat-Wurzel der Wert ist der sich ergibt wenn man das Argument in zwei gleich grosse Teil aufteilt die multipliziert das Argument ergeben.

Nun kommt der Trick mit dem man sich komplexe Zahlen erklären kann. Man muss nämlich zuerst die Definition von Quadrieren "erweitern" damit das Wurzel ziehen aus einer negativen Zahl ein sinnvolles Ergebnis liefert.

In dem Zahlenraum $\mathbb{R}$ liefert nämlich die Gleichung:

keine Lösung. Der Grund ist einfach. Keine zwei Zahlen miteinander multipliziert liefern als Ergebnis eine negative Zahl. Multipliziert man Beispielsweise -2*-2 ist das Ergebnis +4. Welches gleich dem Ergebnis von +2*+2=+4 ist. Das Quadrat einer Zahl und das Quadrat der selben negativen Zahl liefern also immer das gleiche Ergebnis - dies ist auch der Grund warum die Quadratwurzel einer positiven Zahl auch 2 Lösungsvarianten hat also:

Eine andere Ansichtsweise

Will man nun komplexe Zahlen erklären muss man zunächst akzeptieren das die Quadratfunktion umdefiniert werden muss. Man sollte jetzt nicht meinen dass hierzu die Mathematik komplett umgeworfen werden muss. Und diese gilt auch nicht allgemein für das Quadrieren - sondern ist mehr oder weniger nur ein Denkanstoss, bzw. Start für unsere Überlegungen. Es müsste dann folgendes gelten:

a² = a * b

Dies würde also bedeuten das das Quadrat einer Zahl auch das Produkt aus zwei betragsmäßig gleichen Zahlen mit unterschiedlichem Vorzeichen sein kann. Wenn wir nun also anschreiben:

Und wir aus obigen Beispiel gelernt haben das die Wurzel eine der beiden Quadrat-Faktoren ist stellt sich die Frage was in diesem Fall nun die Lösung ist. Wenn man es von einem "einfachen" Ansatz aus ansieht dann ist die Lösung einfach "beide Werte gleichzeitig" ... also +1 und -1 "gleichzeitig". Also eine Art Duale Zahl. Nicht zweideutig wie die Wurzel aus +1 - also nicht zwei Lösungsvarianten - sondern eine Lösung die gleichzeitig aus zwei Zahlen besteht. Man könnte dies folgendermassen anschreiben:

Die Notation [+1,-1] bedeudet also das es sich um eine Zahl handelt welche aus 2 Zahlenwerten besteht. Wir merken schon die Beziehung zu den komplexen Zahlen welche ebenfalls aus einem Zahlentupel besteht. Der unterschied ist jedoch das der Wurzel aus -x nicht ein einziger Wert mit komplexer Einheit zugeordnet wird sondern ein Zahlentupel welches multipliziert miteinander diesen Wert ergibt:

a = k² = + c * − c

Als Folgerung sollte es klar sein das die Wurzel einer postitven Zahl ein Tupel ist, in dem beide Zahlen das selbe Vorzeichen haben. Natürlich tritt auch hier beim Wurzelziehen aus einer negativen Zahl zusätzlich zur Eigenheit, daß das Ergebnis eine "duale" Zahl wieder das Verhalten auf das es zwei Lösungsvarianten gibt. Die Mulitplikation ist nämlich kommutativ. Es gilt: +1*-1 = -1*+1.

Somit kann man also zusammenfassen:

Es gilt also:

Datenmenge

Das gesamte Problem der Wurzel einer negativen Zahl resultiert meiner Ansicht nach einfach daher, dass beim Multiplizieren/Potentzieren Information verloren geht. Und zwar die Vorzeichen Information. Da sowohl +1*+1 als auch -1*-1 das selbe Ergebnis liefert - nämlich +1 handelt es sich hierbei nicht um eine bijektive Funktion. Das bedeutet keinem Wert der Lösungsmenge ist eindeutig ein Wert der Definitionsmenge zuordenbar (in beiden Fällen die Menge der reelen Zahlen).

Eigenschaften des Alternativen Systems

Diese Darstellung der komplexen Zahlen ähnelt stark der Matrix Darstellung einer komplexen Zahl jedoch mit dem Unterschied das hier nur 2 Zahlen benötigt werden - es sich also um ein Tupel handelt und nicht um eine 2x2 Matrix mit 4 Zahlen

Matrixdarstellung von komplexen Zahlen - Wikipedia

Was ich leider nicht genau weiss, ist ob solch eine Form einer komplexen Zahl bereits alle zwei Lösungen einer Wurzel beinhaltet, oder ob auch bei der Matrixform das Wurzelziehen zu zwei Ergebnissen führt.

Es gilt zu ermitteln welche mathematischen Eigenschaften dieser Zahlenraum hat. Wie sich Addition, Multiplikation und Potenzierung verhalten, ob es sich um einen Ring oder ein anderes geschlossenes Gebilde handelt, etc.

Verhältnis zur karthesichen Form

Mit folgendem Rechenweg wird der Zusammenhang zur normalen karthesischen Darstellung dargelegt. Dazu wird der Realteil mit der "realen" Einheit [+1,+1] des alternativen Systems Multipliziert - es wird hierfür angenommen das bei Multiplikation mit einem Skalar einfach jedes Element des Tupels mit dem Skalar multipliziert werden muss. Weiters wird angenommen das beim Addieren die jweiligen Elemente der beiden Summanden addiert werden muss.

z = a + b * i = a * [ + 1, + 1] + b * [ + 1, − 1] = [ + a, + a] + [ + b, − b] = [a + b,a − b]

z = a + b * i = k = [a + b,a − b]

In die umgekehrt Richtung: Also eine Zahl des alternativen Systems in eine Zahl der gausschen Zahlenebene stellt es sich als etwas komplizierter heraus. Wenn wir zuerst mal anschreiben:

k = [c,d]

Und dann aus obiger berechnung für c und d annehmen:

A: c = a + b

B: d = a − b

Dann ergibt sich aus A+B:

A+B: c + d = + a + b + (a − b) = 2 * a

und aus A-B:

A-B: c − d = + a + b − (a − b) = 2 * b

Somit lautet das Ergebnis für die Umrechnung in die andere Richtung:

Addition / Multiplikation u. andere Rechenformen

Es gilt nun noch zu beweisen das Addition und Multiplikation solcher komplexer Zahlen möglich sind und nach zurückrechnen in karthesische Form das selbe Ergebnis liefern wie es aufgrund von "üblichen" komplexen Rechenregeln erwartet werden sollte.

Ich weiss nicht wann ich die Zeit finde diese Beweise durchzuführen, bzw. hier einzutippen.

Des weiteren hätte ich mir bereits einen Namen für diese Art an komplexen Zahlen ausgedacht. Falls für diese nicht bereits einen Namen festgelegt wurde, von jemandem der mathematisch versierter und gebildeter ist als ich:

Equivalenz Quotienten

Weil ja im Prinzip das Ergebniss einer Wurzel zwei equivalente Quotienten sind - bis auf das Vorzeichen.

Das auf dieser Seite verwendete Bild stammt von sxc.hu:
http://www.sxc.hu/photo/693533

Letzte Änderung: 2009-03-02 20:47

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